Bài tập 1, § 1

Cho $X$ là một tập hợp, cho $Y$ là một không gian đều chứa nhiều hơn một điểm, và cho $\mathscr{S}$ là một tập hợp không rỗng gồm các tập con không rỗng của $X$. Cho $Y' \subset \mathscr{F}(X; Y)$ là tập hợp tất cả các ánh xạ hằng từ $X$ vào $Y$. Với mỗi $y \in Y$, cho $c_y$ là ánh xạ hằng từ $X$ vào $Y$ có giá trị là $y$.

a) Chứng minh rằng $y \to c_y$ là một đẳng cấu của $Y$ lên không gian con đều $Y'$ của $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$.

b) $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ là Hausdorff khi và chỉ khi $Y$ là Hausdorff và $\mathscr{S}$ là một phủ của $X$.

c) $Y'$ là đóng trong $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ khi và chỉ khi $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ là Hausdorff.