Exercice 10, § 2

a) Soient $X$ un espace compact, $(f_n)$ une suite d’applications continues de $X$ dans lui-même, qui converge simplement mais non uniformément dans $X$ vers une fonction continue

(X, p. 10, Remarque 2). Montrer que l’ensemble des $f_n$ est relativement compact dans $C_c(X; X)$ mais non dans $C_c(X; X) = C_u(X; X)$.

b) Soient I l’intervalle $(-1, 1)$ de $\mathbf{R}$, et, pour tout $n > 0$, soit $u_n(x) = \sin \sqrt{x + 4n^2\pi^2}$ pour tout $x \geq 0$. Montrer que l’ensemble H des $u_n$ est une partie équicontinue de $C(\mathbf{R}_+; I)$ et est relativement compact dans $C_c(\mathbf{R}_+; I)$ mais non dans $C_u(\mathbf{R}_+; I)$ (remarquer que la suite $(u_n)$ converge simplement vers 0).