Bài tập 10, § 2

(a) Cho $X$ là một không gian compact, cho $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ liên tục $X \to X$, hội tụ từng điểm nhưng không hội tụ đều trong $X$ tới một hàm liên tục (§ 1, no. 6, Nhận xét 2). Chứng minh rằng tập hợp các ánh xạ $f_n$ là tương đối compact trong $C_s(X; X)$ nhưng không trong

(b) Cho $I$ là khoảng $[-\mathbf{1}, +\mathbf{1}]$ của $\mathbf{R}$ và với mỗi số nguyên $n > 0$ cho $u(x_n) = \sin \sqrt{x + 4n^2 \pi^2}$ với mọi $x \geq 0$. Chứng minh rằng tập hợp $H$ các hàm $u_n$ là một tập con liên tục đều của $C(\mathbf{R}_+; I)$ và là tương đối compact trong $C_c(\mathbf{R}_+; I)$ nhưng không trong $C_u(\mathbf{R}_+; I)$. (Chú ý rằng dãy $(u_n)$ hội tụ từng điểm về 0.)