Exercice 12, § 2

Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme, H une partie équicontinue de $C(X; Y)$, V un entourage symétrique de Y. Étant donné un point $x \in X$, montrer que l’ensemble des points $x' \in X$ pour lesquels il existe un entier $n$ (dépendant de $x'$) tel que $H(x') \subset \overset{n}{V}(H(x))$, est à la fois ouvert et fermé dans X. En déduire que pour toute partie compacte et connexe K de X, et tout $x_0 \in K$, il existe un entier $n > 0$ tel que