Bài tập 12, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô, $Y$ là một không gian đều, $H$ là một tập con đồng liên tục của $C(X; Y)$ và $V$ là một quan hệ lân cận đối xứng của $Y$. Cho một điểm $x \in X$, hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm $x' \in X$ sao cho tồn tại một số nguyên $n$ (phụ thuộc vào $x'$) mà $H(x') \subset \overset{n}{V}(H(x))$ là vừa mở vừa đóng trong $X$. Suy ra rằng, nếu $K$ là một tập con compact liên thông bất kỳ của $X$ và nếu $x_0$ là một điểm bất kỳ của $K$, thì tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $H(K) \subset \overset{n}{V}(H(x_0))$.