Exercice 13, § 2

Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme localement compact, H une partie équicontinue de $C(X; Y)$.

a) Soit A l’ensemble des points $x \in X$ tels que $H(x)$ soit relativement compact dans Y; montrer que A est ouvert dans X (cf. I, p. 65, prop. 10 et II, p. 31, prop. 4).

b) On suppose en outre que Y est complet pour sa structure uniforme; alors A est aussi fermé dans X (remarquer que si $x_0 \in \overline{A}$, $H(x_0)$ est relativement compact dans Y, en considérant un ultrafiltre sur $H(x_0)$ comme image d’un ultrafiltre sur H). Dans ce cas, si X est connexe, pour que H soit relativement compact dans $C_c(X; Y)$, il faut et il suffit que pour un point $x_0 \in X$, l’ensemble $H(x_0)$ soit relativement compact dans Y.

c) On prend pour X l’intervalle compact $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, pour Y l’intervalle ]$0, 1[$ muni de la structure uniforme induite par celle de $\mathbf{R}$; donner un exemple de partie équicontinue H de $C(X; Y)$ tel que l’ensemble A défini dans a) soit l’intervalle $[0, 1]$.

d) On suppose que $X = Y$ et que H est formé d’homéomorphismes de X sur lui-même. Montrer que si H est uniformément équicontinu, l’ensemble A défini dans a) est à la fois ouvert et fermé dans X.