Bài tập 13, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô, cho $Y$ là một không gian đều địa phương compact và cho $H$ là một tập con liên tục đều của $C(X; Y)$.

a) Cho $A$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $H(x)$ là tương đối compact trong $Y$. Chứng minh rằng $A$ là mở trong $X$ (xem Chương I, § 9, no. 7, Mệnh đề 10 và Chương II, § 4, no. 3, Mệnh đề 4).

b) Giả sử thêm rằng $Y$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều của nó; khi đó $A$ cũng là đóng trong $X$ [nhận xét rằng nếu $x_0 \in \overline{A}$, thì $H(x_0)$ là tương đối compact trong $Y$ bằng cách xét một siêu lọc trên $H(x_0)$ như là ảnh của một siêu lọc trên $H$]. Trong trường hợp này, nếu $X$ là liên thông, thì $H$ là tương đối compact trong $C_c(X; Y)$ khi và chỉ khi, với một điểm $x_0 \in X$, tập hợp $H(x_0)$ là tương đối compact trong $Y$.

c) Lấy $X$ là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, và lấy $Y$ là khoảng $[0, 1[$ được trang bị cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của $\mathbf{R}$. Cho một ví dụ về một tập con liên tục đều $H$ của $C(X; Y)$ sao cho tập hợp $A$ được xác định trong a) là khoảng $[0, 1]$.

d) Giả sử rằng $X = Y$ và $H$ gồm các đồng phôi của $X$ lên chính nó. Chứng minh rằng nếu $H$ liên tục đều một cách đều, thì tập hợp $A$ được xác định trong a) vừa mở vừa đóng trong $X$.