Exercice 15, § 2

Soient X un espace compact métrisable, $\Gamma$ le groupe de tous les homéomorphismes de X, G un sous-groupe de $\Gamma$ qui opère transitivement dans X. Si H est le centralisateur de G dans $\Gamma$, montrer que H est équicontinu. (Raisonner par l’absurde, en supposant que H n’est pas équicontinu en un point $a \in X$; en déduire l’existence d’une suite de points $x_n \in X$ et d’une suite d’éléments $u_n \in H$ tels que $\lim_{n \to \infty} x_n = a, \lim_{n \to \infty} u_n(a) = b, \lim_{n \to \infty} u_n(x_n) = c$, avec $b \neq c$. En déduire que la suite $(u_n)$ converge simplement dans X, mais qu’aucun point de X n’est point de convergence uniforme pour cette suite, ce qui contredit l’exerc 9 de X, p. 43).