Bài tập 15, § 2

Cho $X$ là một không gian compact khả métrizable, cho $\Gamma$ là nhóm gồm tất cả các phép đồng phôi của $X$, và cho $G$ là một nhóm con của $\Gamma$ tác động bắc cầu trên $X$. Nếu $H$ là toán tử trung tâm của $G$ trong $\Gamma$, hãy chứng minh rằng $H$ là liên tục đều. [Lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng $H$ không liên tục đều tại một điểm $a \in X$; suy ra tồn tại một dãy các điểm $x_n \in X$ và một dãy các phần tử $u_n \in H$ sao cho

trong đó $b \neq c$. Do đó hãy chứng minh rằng dãy $(u_n)$ hội tụ từng điểm trong $X$, nhưng không có điểm nào của $X$ là điểm hội tụ đều của dãy này; điều này mâu thuẫn với Bài tập 9 của § 1.]