Exercice 19, § 2

Soient X un espace uniforme séparé, G un groupe d’homéomorphismes de X sur lui-même.

a) Montrer que si G est équicontinu et discret pour la topologie de la convergence simple, il est fermé dans l’espace $\mathscr{F}_s(X; X)$.

b) Montrer que si G, muni de la topologie discrète, est propre en un point au moins de X (exerc. 18), alors il est fermé dans $\mathscr{F}_s(X; X)$ et la topologie de la convergence simple induit sur G la topologie discrète.

c) Soit X un espace somme topologique de deux espaces $X_1, X_2$ homéomorphes à $\mathbf{R}$, de sorte que X peut être identifié à l’espace produit $\mathbf{R} \times \{1, 2\}$; on le munit de la structure uniforme produit. Pour tout couple $(m, n)$ d’entiers rationnels, on désigne par $u_{mn}$ l’homéomorphisme de X défini par $u_{mn}(x_1) = x_1 + m\alpha + n\beta, u_{mn}(x_2) = x_2 + m\gamma + n\delta$ pour $x_1 \in X_1$ et $x_2 \in X_2$, où $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ sont quatre nombres réels $\neq 0$ tels que $\alpha/\beta$ et $\gamma/\delta$ soient irrationnels et distincts. Montrer que les $u_{mn}$ forment un groupe G d’homéomorphismes de X, qui est équicontinu et discret pour la topologie de la convergence simple, mais que G (muni de la topologie discrète) n’est propre en aucun point de X.