Bài tập 19, § 2

Cho $X$ là một không gian đều Hausdorff và cho $G$ là một nhóm các tự đồng phôi của $X$ lên chính nó.

a) Chứng minh rằng nếu $G$ là liên tục đều và rời rạc đối với tôpô hội tụ từng điểm, thì $G$ là đóng trong $\mathscr{F}_s(X; X)$.

b) Chứng minh rằng nếu $G$, được trang bị tôpô rời rạc, là thực sự tại ít nhất một điểm của $X$ (Bài tập 18), thì $G$ là đóng trong $\mathscr{F}_s(X; X)$ và tôpô hội tụ từng điểm cảm sinh tôpô rời rạc trên $G$.

c) Cho $X$ là tổng tôpô của hai không gian $X_1, X_2$, mỗi không gian đồng phôi với $\mathbf{R}$, sao cho $X$ có thể được đồng nhất với không gian tích $\mathbf{R} \times \{1, 2\}$. Trang bị cho $X$ tính đều tích. Với mỗi cặp $(m, n)$ các số nguyên hữu tỉ, gọi $u_{mn}$ là tự đồng phôi của $X$ được xác định bởi $u_{mn}(x_1) = x_1 + m\alpha + n\beta, \ u_{mn}(x_2) = x_2 + m\gamma + n\delta$, trong đó $x_1 \in X_1$ và $x_2 \in X_2$, và $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ là bốn số thực khác không sao cho $\alpha/\beta$ và $\gamma/\delta$ là vô tỉ và phân biệt. Chứng minh rằng các $u_{mn}$ tạo thành một nhóm các tự đồng phôi của $X$, nhóm này liên tục đều và rời rạc đối với tôpô hội tụ từng điểm, nhưng $G$ (với tôpô rời rạc) không thực sự tại bất kỳ điểm nào của $X$.