Exercice 7, § 2

Soient $X$ un espace topologique, $Y$ un espace uniforme séparé et complet, $\varphi$ un homéomorphisme uniformément continu de $Y$ sur une partie ouverte $\varphi(Y)$ d’un espace uniforme séparé $Y'$. Soient $H$ une partie équicontinue de $\mathscr{C}(X; Y)$, $H'$ l’ensemble des $\varphi \circ u$, où $u \in H$. Si $v$ est adhérent à $H'$ dans $\mathscr{F}_s(X; Y')$, montrer que $\overline{v}(\varphi(Y))$ est à la fois ouvert et fermé dans $X$. En particulier, si $X$ est connexe, $v(X)$ est contenu dans $\varphi(Y)$ ou dans une composante connexe de $\mathscr{C}\varphi(Y)$. (Remarquer que $v$ est continue, et utiliser l’exerc. 6.)