Bài tập 7, § 2

Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều Hausdorff đầy đủ, và cho $\varphi$ là một đồng phôi liên tục đều từ Y lên một tập con mở $\varphi(Y)$ của một không gian đều Hausdorff $Y'$. Cho H là một tập con đồng liên tục của $\mathscr{C}(X; Y)$, và cho H' là tập các ánh xạ $\varphi \circ u$, trong đó $u \in H$. Nếu $v$ nằm trong bao đóng của H' trong $\mathscr{F}_s(X; Y')$, chứng minh rằng $\overline{\nu}^1(\varphi(Y))$ vừa mở vừa đóng trong X. Đặc biệt, nếu X là liên thông, $\nu(X)$ được chứa trong $\varphi(Y)$ hoặc trong một thành phần liên thông của $C_{\varphi}(Y)$. (Lưu ý rằng $\nu$ là liên tục, và sử dụng Bài tập 6.)