Exercice 8, § 2

Soit $H$ un ensemble équicontinu d’applications d’un espace topologique $X$ dans $\mathbf{R}$. a) Montrer que l’ensemble des enveloppes supérieures (resp. inférieures) de parties finies de $H$ est équicontinu. b) Soit $v$ une application de $X$ dans $\overline{\mathbf{R}}$, adhérente à $H$ pour la topologie de la convergence simple. Montrer que $v$ est continue dans $X$, et que les ensembles $\overline{v}(+\infty)$ et $\overline{v}(-\infty)$ sont à la fois ouverts et fermés dans $X$ (utiliser l’exerc. 7). c) Déduire de a) et b) que l’enveloppe supérieure $w$ (resp. l’enveloppe inférieure $v$) de $H$ est continue dans $X$ et que $w(+\infty)$ (resp. $v(-\infty)$) est à la fois ouvert et fermé dans $X$. d) On suppose $X$ connexe, et qu’il existe $x_0 \in X$ tel que l’ensemble $H(x_0)$ soit majoré dans $\mathbf{R}$. Montrer que pour toute partie compacte $K$ de $X$, l’ensemble des restrictions à $K$ des fonctions de $H$ est uniformément majoré dans $K$ (utiliser c)).