Bài tập 8, § 2

Cho H là một tập hợp liên tục đều các ánh xạ của một không gian tôpô X vào $\mathbf{R}$. a) Chứng minh rằng tập hợp các bao trên (tương ứng bao dưới) của các tập con hữu hạn của H là liên tục đều. b) Cho $v$ là một ánh xạ của X vào $\overline{\mathbf{R}}$ nằm trong bao đóng của H đối với tôpô hội tụ điểm. Chứng minh rằng $v$ liên tục trên $X$ và các tập $\bar{v}^1(+\infty)$ và $\bar{v}^1(-\infty)$ đều mở và đóng trong $X$ (dùng Bài tập 7).

c) Suy ra từ a) và b) rằng bao trên (tương ứng bao dưới) $w$ (tương ứng $v$) của $H$ liên tục trên $X$ và rằng $\bar{w}^1(+\infty)$ [tương ứng $\bar{v}^1(-\infty)$] đều mở và đóng trong $X$.

d) Giả sử rằng $X$ là liên thông và có một điểm $x_0 \in X$ sao cho $H(x_0)$ bị chặn trên trong $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng, đối với mọi tập con compact $K$ của $X$, tập hợp các hàm hạn chế xuống $K$ của các hàm thuộc H bị chặn trên đều trong $K$ [dùng c)].