Exercice 9, § 2

Soient $X$ un ensemble, $Y$ un espace uniforme, $\mathfrak{S}$ un recouvrement de $X$. Pour qu’une partie $H$ de l’espace uniforme $\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y)$ soit précompacte, il faut et il suffit que: 1° pour tout $x \in X$, $H(x)$ soit précompact dans $Y$; 2° la structure uniforme de la $\mathfrak{S}$-convergence et la structure uniforme de la convergence simple soient identiques dans $H$. (Appliquer le th. 2 de X, p. 17, en considérant $X$ comme un espace discret et en se ramenant au cas où $Y$ est séparé et complet).