Exercice 15, § 3

a) Soient $X$ un espace uniforme, $\mathfrak{S}$ un ensemble de parties de $X$, $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes de $X$, $u_0$ un élément de $\Gamma$. On suppose que pour tout $A \in \mathfrak{S}$ il existe un ensemble $B \in \mathfrak{S}$ et un entourage $V$ de $X$ tels que: $\alpha)$ $u_0^{-1}$ est uniformément continu dans $V(A)$; $\beta)$ les relations $u \in \Gamma$ et $(u_0(x), u(x)) \in V$ pour tout $x \in B$ entraînent $A \subset u(B)$. Dans ces conditions, montrer que l’application $u \mapsto u^{-1}$ (définie dans $\Gamma$) est continue au point $u_0$ pour la topologie de la $\mathfrak{S}$-convergence sur $\Gamma$.

b) Montrer que la condition $\beta)$ peut être remplacée par la suivante: $\beta')$ il existe un ensemble connexe $C \subset X$ tel que $V(A) \subset C$ et que $V(C)$ soit contenu dans l’intérieur de $u_0(B)$ (prouver que $\beta'$ entraîne $\beta$), en raisonnant par l’absurde).