Bài tập 15, § 3

a) Cho $X$ là một không gian đều, cho $\mathscr{S}$ là một tập hợp các tập con của $X$, cho $\Gamma$ là nhóm của tất cả các tự đồng phôi của $X$, và cho $u_0 \in \Gamma$. Giả sử rằng với mỗi $A \in \mathscr{S}$ tồn tại $B \in \mathscr{S}$ và một lân cận trong cấu trúc đều $V$ của $X$ sao cho: $\alpha)$ $u_0^{-1}$ là liên tục đều trên $V(A)$; $\beta)$ các quan hệ $u \in \Gamma$ và $(u(x_0), u(x)) \in V$ với mọi $x \in B$ cùng kéo theo $A \subset u(B)$. Dưới các điều kiện này, hãy chứng minh rằng $u \to u^{-1}$ (được xác định trên $\Gamma$) là liên tục tại $u_0$ đối với tôpô hội tụ $\mathscr{S}$ trên $\Gamma$.

b) Hãy chứng minh rằng điều kiện $\beta)$ có thể được thay thế bởi điều kiện sau: $\beta')$ tồn tại một tập hợp liên thông $C \subset X$ sao cho $V(A) \subset C$ và $V(C)$ được chứa trong phần trong của $u_0(B)$. [Hãy chứng minh rằng $\beta') \Longrightarrow \beta)$ bằng phương pháp phản chứng.]