Exercice 17, § 3

a) Montrer que si $X$ est un espace localement compact et localement connexe, la topologie induite sur le groupe $\Gamma$ des homéomorphismes de $X$ sur lui-même par la topologie de la convergence compacte est identique à la topologie $\mathscr{T}_\beta$ définie en $X$, p. 31 (utiliser $X$, p. 50, exerc. 15 b), ainsi que la prop. 12 de $X$, p. 31).

b) Soit $X$ le sous-espace localement compact de $\mathbf{R}$ formé du point 0 et des points $2^n$ pour $n \in \mathbf{Z}$. Si $\Gamma$ est le groupe des homéomorphismes de $X$ sur lui-même, montrer que la topologie induite sur $\Gamma$ par la topologie de la convergence compacte n’est pas compatible avec la structure de groupe de $\Gamma$.