Bài tập 17, § 3

a) Hãy chứng minh rằng nếu $X$ là một không gian địa phương compact, địa phương liên thông, thì tôpô cảm sinh trên nhóm $\Gamma'$ của tất cả các tự đồng phôi của $X$ bởi tôpô compact-mở trùng với tôpô $\tilde{\mathscr{O}}_\beta$ được định nghĩa trong no. 5 [sử dụng Bài tập 15 b) và Mệnh đề 12 của no. 5].

b) Cho $X$ là không gian con compact địa phương của $\mathbf{R}$ gồm các điểm $0$ và $2^n (n \in \mathbf{Z})$. Nếu $\Gamma$ là nhóm gồm tất cả các đồng phôi của $X$, hãy chứng minh rằng tôpô cảm sinh trên $\Gamma$ bởi tôpô compact-mở không tương thích với cấu trúc nhóm của $\Gamma$.