Exercice 21, § 3

Soient X un espace localement compact, T une partie de $\mathscr{C}(X; X)$ formée d’applications surjectives. Considérons sur T une topologie $\mathscr{T}$ plus fine que celle de la convergence simple et pour laquelle T est localement compact; et considérons la propriété du couple $(T, \mathscr{T})$:

(A) Quels que soient $u \in T, v \in T$, on a $u \circ v \in T$; en outre pour tout $u \in T$, les applications $v \mapsto u \circ v$ et $v \mapsto v \circ u$ de T dans lui-même sont continues pour $\mathscr{T}$.

a) On suppose que X est compact et métrisable, que $(T, \mathscr{T})$ vérifie (A) et qu’il existe un groupe G d’homéomorphismes de X dense dans T pour la topologie $\mathscr{T}$. Montrer que l’ensemble H des applications $u \in T$ qui sont bijectives est le complémentaire d’un ensemble maigre dans T. (Remarquer d’abord, à l’aide de X, p. 48, exerc. 7, que tout point de T admet un voisinage pour $\mathscr{T}$ qui est compact et métrisable. Soit $(V_n)$ un système fondamental de voisinages dans T de l’élément neutre e de G, soit $H_n$ l’ensemble des $v \in T$ pour lesquels il existe $u \in T$ tel que $v \circ u \in V_n$; remarquer que H contient l’intersection des $H_n$).

b) Montrer que, sous les hypothèses de a), la restriction à $G \times X$ de l’application $\pi : (u, x) \mapsto u(x)$ de $T \times X$ dans X est continue. (Montrer d’abord qu’il suffit de prouver que pour tout $x_0 \in X$, il existe $u_0 \in H$ tel que $\pi$ soit continue au point $(u_0, x_0)$, en établissant que cela entraîne la continuité de $\pi$ au point $(e, x_0)$. Si V est un voisinage compact métrisable de e dans T, montrer ensuite, en utilisant a) et l’exerc. 21 de IX, p. 115, qu’il existe $u_0 \in H \cap V$ tel que $\pi$ soit continue au point $(u_0, x_0)$.)