Bài tập 21, § 3

Cho $X$ là một không gian địa phương compact, và cho $T$ là một tập con của $C(X; X)$ gồm các ánh xạ toàn ánh. Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô trên $T$ mịn hơn tôpô hội tụ điểm và đối với nó $T$ là địa phương compact, và xét tính chất sau đây của cặp $(T, \mathscr{T})$: (A) Với mọi $u \in T$ và $v \in T$, ta có $u \circ v \in T$; và với mỗi $u \in T$ các ánh xạ $v \to u \circ v$ và $v \to v \circ u$ của $T$ vào chính nó là liên tục đối với $\mathscr{T}$.

a) Giả sử rằng $X$ là compact và mêtric hóa được, rằng cặp $(T, \mathscr{T})$ thỏa mãn (A) và tồn tại một nhóm $G$ các tự đồng phôi của $X$ trù mật trong $T$ đối với tôpô $\mathscr{T}$. Chứng minh rằng tập hợp $H$ các ánh xạ song ánh trong $T$ là phần bù của một tập hợp không đáng kể trong $T$. [Trước hết chú ý, sử dụng Bài tập 7, rằng mỗi điểm của $T$ có một lân cận compact mêtric hóa được (đối với $\mathscr{T}$). Gọi $(V_n)$ là một hệ cơ bản các lân cận trong $T$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$, và gọi $H_n$ là tập hợp tất cả các $v \in T$ sao cho tồn tại $u \in T$ thỏa mãn $v \circ u \in V_n$; chú ý rằng $H$ chứa giao của các tập hợp $H_n$.]

b) Chứng minh rằng, dưới các giả thiết của a), hạn chế trên $G \times X$ của ánh xạ $\pi : (u, x) \to u(x)$ từ $T \times X$ vào $X$ là liên tục. [Trước hết chứng minh rằng chỉ cần chứng minh rằng, với mỗi $x_0 \in X$, tồn tại $u_0 \in H$ sao cho $\pi$ liên tục tại $(u_0, x_0)$, bằng cách thiết lập rằng điều này kéo theo tính liên tục của $\pi$ tại $(e, x_0)$. Nếu $V$ là một lân cận compact mêtric hóa được của $e$ trong $T$, hãy chứng minh tiếp, bằng cách sử dụng a) và Chương IX, § 5, Bài tập 23, rằng tồn tại $u_0 \in H \cap V$ sao cho $\pi$ liên tục tại $(u_0, x_0)$.]