Exercice 25, § 3

Soit $G$ un groupe muni d’une topologie $\mathscr{T}$ pour laquelle $G$ est localement compact et, pour tout $s \in G$, les translations $t \mapsto st$ et $t \mapsto ts$ sont continues dans $G$. Montrer que $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe de $G$ (« théorème de R. Ellis »). (Identifier $G$ au groupe des translations à gauche muni de la topologie de la convergence simple, de sorte que $G$ s’identifie à un groupe d’homéomorphismes du compactifié d’Alexandroff $X$ de $G$, muni de la topologie de la convergence simple. À l’aide de l’exerc. 24, en déduire que sur $G$, la topologie de la convergence simple dans $X$ est identique à celle de la convergence uniforme dans $X$ (X, p. 28, cor 1) et conclure à l’aide de X, p. 30, prop. 11.