Exercice 26, § 3

a) Soient $X$ un espace uniforme localement compact, $G$ un groupe d’homéomorphismes de $X$, $T$ l’adhérence de $G$ dans $\mathscr{C}_s(X; X)$. Montrer que pour que $T$ soit compact pour la topologie de la convergence simple et soit un groupe d’homéomorphismes, il faut et il suffit que $G$ soit relativement compact dans $\mathscr{C}_u(X; X)$. (Utiliser X, p. 49, exerc. 12 et X, p. 53, exerc. 24, ainsi que X, p. 32, corollaire). b) Soient $G$ un groupe topologique localement compact et non compact, $X$ son compactifié d’Alexandroff ; $G$ peut s’identifier à un groupe d’homéomorphismes de $X$. Montrer que $G$ n’est pas équicontinu bien que son adhérence dans $\mathscr{C}_u(X; X)$ soit un ensemble compact.