Bài tập 26, § 3

a) Cho $X$ là một không gian đều địa phương compact, $G$ là một nhóm các tự đồng phôi của $X$, và $T$ là bao đóng của $G$ trong $\mathscr{C}_s(X; X)$. Chứng minh rằng $T$ là compact đối với tôpô hội tụ điểm và là một nhóm các tự đồng phôi khi và chỉ khi $G$ tương đối compact trong $\mathscr{C}_c(X; X)$. [Sử dụng các Bài tập 12 và 24 và Hệ quả của Định lý 4 (no. 5).]

b) Cho $G$ là một nhóm tôpô địa phương compact, không compact và cho $X$ là compact hóa một điểm của nó; $G$ có thể được đồng nhất với một nhóm các tự đồng phôi của $X$. Chứng minh rằng $G$ không đều liên tục, mặc dù bao đóng của nó trong $\mathscr{C}_s(X; X)$ là compact.