Exercice 3, § 3

Soient $X$ un espace métrique, $d$ la distance sur $X$. Pour tout $x \in X$, soit $d_x$ la fonction numérique $y \mapsto d(x, y)$ continue dans $X$. Montrer que l’application $x \mapsto d_x$ est une isométrie sur un sous-espace de $\mathscr{C}_u(X; \mathbf{R})$ (muni de l’écart $\delta(u, v) = \sup_{x \in X} |u(x) - v(x)|$).