Exercice 12, § 4

a) Soient $X$ un espace compact, $f : X \to Y$ une application continue surjective de $X$ sur un espace compact $Y$. Montrer que l’application $af : u \mapsto u \circ f$ de $C(Y; \mathbf{R})$ dans $C(X; \mathbf{R})$ est un isomorphisme (conservant la norme) de $C(Y; \mathbf{R})$ sur une sous-algèbre fermée de $C(X; \mathbf{R})$ contenant l’élément unité.

b) Inversement, soit $A$ une sous-algèbre fermée de $C(X; \mathbf{R})$ contenant l’élément unité. Montrer qu’il existe une application continue surjective $f$ de $X$ sur un espace compact $Y$ telle que $af$ soit un isomorphisme de $C(Y; \mathbf{R})$ sur $A$. (Si $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une famille partout dense dans $A$, considérer l’application continue $x \mapsto (u_\lambda(x))$ de $X$ dans $\mathbf{R}^L$ et utiliser le th. de Weierstrass-Stone).

c) Déduire de b) que pour toute suite $(u_n)$ d’éléments de $C(X; \mathbf{R})$, il existe un espace compact métrisable $Y$ et une application continue surjective $f : X \to Y$ tels que les $u_n$ appartiennent à l’image de $C(Y; \mathbf{R})$ par $af$.