Bài tập 12, § 4

a) Cho $X$ là một không gian compact, và cho $f : X \to Y$ là một toàn ánh liên tục của $X$ lên một không gian compact $Y$. Chứng minh rằng ánh xạ

(*) Kết quả này không mở rộng được sang trường hợp $X$ là không gian compact không khả mêtric $\beta \mathbf{N}$ và $Y$ là tập hợp đóng $\beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$.

af : u \to u \circ f của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ vào $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là một đẳng cấu (bảo toàn chuẩn) của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ lên một đại số con đóng của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa phần tử đơn vị.

b) Ngược lại, cho $A$ là một đại số con đóng của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa phần tử đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một toàn ánh liên tục $f$ của $X$ lên một không gian compact $Y$ sao cho $af$ là một đẳng cấu của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ lên $A$. {Nếu $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ trù mật trong $A$, hãy xét ánh xạ liên tục $x \to (u_\lambda(x))$ của $X$ vào $\mathbf{R}^L$ và sử dụng định lý Weierstrass-Stone.}

c) Suy ra từ b) rằng, với mỗi dãy $(u_n)$ các phần tử của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, tồn tại một không gian compact khả mêtric $Y$ và một ánh xạ toàn ánh liên tục $f : X \to Y$ sao cho các $u_n$ thuộc ảnh của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ qua $af$.