Exercice 16, § 4

Les hypothèses et notations sont celles de l’exerc. 15. a) Soit $a$ un idéal fermé dans l’anneau $A$. Montrer que dans l’anneau quotient $A/a$, l’ensemble $P$ des images canoniques des fonctions $f \geq 0$ de $A$ est l’ensemble des éléments $\geq 0$ pour une structure d’ordre faisant de $A/a$ un anneau réticulé (observer, en utilisant l’exerc. 15 e) que si $f, g$ appartiennent à $a$, il en est de même de $|f| + |g|$ et de toute fonction $h \in A$ telle que $|h| \leq |f|$. L’image canonique dans $A/a$ de l’ensemble des fonctions constantes est isomorphe à $\mathbf{R}$ pour sa structure de corps ordonné.

b) En particulier, pour tout $x \in \beta X$, le corps $A/\mathscr{F}(x)$ est muni canoniquement d’une structure de corps ordonné. On dit que l’idéal maximal $\mathscr{F}(x)$ est réel si $A/\mathscr{F}(x)$ est isomorphe à $\mathbf{R}$, hyper-réel dans le cas contraire. Pour que $\mathscr{F}(x)$ soit hyper-réel, il faut et il suffit que $x \in \beta X - X$ et qu’il existe une fonction inversible $f \in A$ telle que $\lim_{y \to x, y \in X} f(y) = 0$. En déduire que pour que tous les idéaux maximaux de $A$ soient réels, il faut et il suffit que $X$ soit weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20).

c) Pour tout $x \in \beta X$, soit $\varphi_x$ l’homomorphisme canonique $A \to A/\mathscr{F}(x)$. Pour que $\varphi_x(f) \geq 0$ dans $A/\mathscr{F}(x)$, il faut et il suffit qu’il existe $g \in \mathscr{F}(x)$ tel que $f(y) \geq 0$ dans $g(0)$ (remarquer que la relation $\varphi_x(f) \geq 0$ équivaut à $f \equiv |f|$ (mod. $\mathscr{F}(x)$)). Pour que $\varphi_x(f) > 0$, il faut et il suffit qu’il existe $g \in \mathscr{F}(x)$ tel que $f(y) > 0$ dans $g(0)$ (remarquer que si $f \notin \mathscr{F}(x)$, il existe $g \in \mathscr{F}(x)$ tel que $f(0) \cap g(0) = \varnothing$, en utilisant l’exerc. 15).

d) Montrer que si $\mathscr{F}(x)$ est hyper-réel, le degré de transcendance (A, V, § 14) du corps $A/\mathscr{F}(x)$ sur $\mathbf{R}$ est au moins égal à $c = \mathrm{Card}(\mathbf{R})$. (Soit $f > 0$ un élément inversible de $A$ tel que $\varphi_x(f) = u$ soit infiniment grand par rapport à $\mathbf{R}$ (A, VI, § 2, exerc. 1). Montrer que lorsque $r$ parcourt les éléments d’une base de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{Q}$ (formée de nombres $> 0$), les éléments $\varphi_x(f^r)$ de $A/\mathscr{F}(x)$ sont algébriquement indépendants).

*e) Pour tout point $a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbf{R}^n$, soit $f_a(X)$ le polynôme $X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$. Pour tout nombre réel $\xi$, soit $v(\xi)$ la somme des ordres de multiplicité des zéros $z$ de $f_a$ dans $\mathbf{C}$ tels que $\Re(z) = \xi$; pour tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq n$, soit $\rho_k(a)$ le plus petit nombre réel $\xi$ tel que $\sum_{\eta \leq \xi} v(\eta) \geq k$. Montrer que chacune des fonctions $\rho_k$ est continue dans $\mathbf{R}^n$ (utiliser le th. de Rouché).

f) Prouver que pour tout $x \in \beta X$, le corps ordonné $A/\mathscr{F}(x)$ est maximal (A, VI, § 2, n° 5). (Soit $F(X) = X^n + f_1 X^{n-1} + \cdots + f_n$ un polynôme de degré impair dont les coefficients appartiennent à $A$; les fonctions $g_k(y) = \rho_k(f_1(y), \ldots, f_n(y))$, où les $\rho_k$ sont les fonctions définies dans e), sont continues dans $X$ et pour tout $y \in X$, il y a un indice $k$ tel que $F(g_k(y)) = 0$; en déduire que le produit $F(g_1) \ldots F(g_n)$ appartient à $\mathscr{F}(x)$.*

g) Soient $X$ un espace discret infini, $y \mapsto F_y$ une bijection de $X$ sur l’ensemble des parties finies de $X$; pour tout $z \in X$, soit $M_z$ l’ensemble des $y \in X$ tels que $z \in F_y$; ces ensembles forment une base d’un filtre $\mathscr{F}$ sur $X$; soit $x$ un point de $\beta X$ tel que l’ultrafiltre correspondant sur $X$ (I, p. 110, exerc. 27) soit plus fin que $\mathscr{F}$. Soit $B$ une partie de $A$ telle que $\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(X)$, et soit $y \mapsto g_y$ une application surjective $X \to B$. Pour tout $z \in X$, on pose $f(z) = 1 + \sup_{y \in F_z} g_y(z)$. Montrer que $f(z) > g_y(z)$ pour tout $z \in M_y$, et en déduire que $\varphi_x(f) > \varphi_x(g_y)$ pour tout $y \in Y$ (utiliser c)). Conclure que $\mathrm{Card}(A/\mathscr{F}(x)) > \mathrm{Card}(X)$.