Bài tập 16, § 4

Ta giữ lại các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 15.

a) Cho $a$ là một iđêan đóng trong vành $A$. Hãy chứng minh rằng trong vành thương $A/a$, tập hợp $P$ các ảnh chính tắc của các hàm $f \geq 0$ của $A$ là tập hợp các phần tử $\geq 0$ đối với một thứ tự làm cho $A/a$ trở thành một vành có thứ tự dàn [chú ý, sử dụng Bài tập 15 e), rằng nếu $f$ và $g$ thuộc $a$, thì $|f| + |g|$ và mọi hàm $h \in A$ sao cho $|h| \leq |f|$ cũng thuộc $a$]. Ảnh chính tắc trong $A/a$ của tập hợp các hàm hằng là đẳng cấu với $\mathbf{R}$ như một trường có thứ tự.

b) Đặc biệt, với mỗi $x \in \beta X$, trường $A/\mathfrak{J}(x)$ được trang bị một cách chính tắc một cấu trúc trường có thứ tự. Iđêan cực đại $\mathfrak{J}(x)$ được gọi là thực nếu $A/\mathfrak{J}(x)$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$, là siêu thực trong trường hợp ngược lại. Để $\mathfrak{J}(x)$ là siêu thực thì điều kiện cần và đủ là $x \in \beta X - X$ và tồn tại một phần tử khả nghịch $f \in A$ sao cho $\lim_{y \to x, y \in X} f(y) = 0$. Suy ra rằng mọi iđêan cực đại của $A$ đều thực khi và chỉ khi $X$ là giả compact (Chương IX, § 1, Bài tập 21).

c) Với mỗi $x \in \beta X$, gọi $\varphi_x$ là đồng cấu chính tắc $A \to A/\mathfrak{J}(x)$. Để $\varphi_x(f)$ là $\geq 0$ trong $A/\mathfrak{J}(x)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại $g \in \mathfrak{J}(x)$ sao cho $f(y) \geq 0$ trong $\overline{g}^{-1}(0)$ [chú ý rằng quan hệ $\varphi_x(f) \geq 0$ tương đương với $f \equiv |f| \pmod{\mathfrak{J}(x)}$]. Để $\varphi_x(f)$ là $> 0$, điều kiện cần và đủ là tồn tại $g \in \mathfrak{J}(x)$ sao cho $f(y) > 0$ trong $\overline{g}^{-1}(0)$. [Chú ý rằng, nếu $f \notin \mathfrak{J}(x)$, tồn tại $g \in \mathfrak{J}(x)$ sao cho $\overline{f}^{-1}(0) \cap \overline{g}^{-1}(0) = \emptyset$, bằng cách sử dụng Bài tập 15.]

d) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{J}(x)$ là siêu thực, bậc siêu việt của trường $A/\mathfrak{J}(x)$ trên $\mathbf{R}$ ít nhất bằng $c = \mathrm{Card}(\mathbf{R})$. [Cho $f > 0$ là một phần tử khả nghịch của $A$ sao cho $\varphi_x(f) = u$ là vô hạn lớn đối với $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng khi $r$ chạy qua các phần tử của một cơ sở của $\mathbf{R}$ trên $\mathbf{Q}$ (gồm các số $> 0$), các phần tử $\varphi_x(f^r)$ của $A/\mathfrak{J}(x)$ là độc lập đại số.]

\* e) Với mỗi điểm $a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbf{R}^n$, gọi $f_a(X)$ là đa thức $X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$. Với mỗi số thực $\xi$, gọi $v(\xi)$ là tổng các bội của các không điểm $z$ của $f_a$ trong $\mathbf{C}$ sao cho $R(z) = \xi$; và với mỗi số nguyên $k$ sao cho $1 \leq k \leq n$, gọi $\rho_k(a)$ là số thực nhỏ nhất $\xi$ sao cho $\sum_{\eta \leq \xi} v(\eta) \geq k$. Chứng minh rằng mỗi hàm $\rho_k$ là liên tục trên $\mathbf{R}^n$ (dùng định lý Rouché).

f) Chứng minh rằng, với mỗi $x \in \beta X$, trường có thứ tự $A/\mathfrak{J}(x)$ là đóng thực. [Cho $F(X) = X^n + f_1 X^{n-1} + \cdots + f_n$ là một đa thức có bậc lẻ với các hệ số trong $A$; các hàm $g_k(y) = \rho_k(f_1(y), \ldots, f_n(y))$, trong đó các hàm $\rho_k$ là các hàm được định nghĩa trong e), là liên tục trên $X$, và với mỗi $y \in X$ có một chỉ số $k$ sao cho $F(g_k(y)) = 0$; suy ra rằng tích $F(g_1) \cdots F(g_n)$ thuộc về $\mathfrak{J}(x)$.]

g) Cho $X$ là một không gian rời rạc vô hạn và cho $y \to F_y$ là một song ánh của $X$ lên tập hợp các tập con hữu hạn của $X$; với mỗi $z \in X$ gọi $M_z$ là tập hợp tất cả các $y \in X$ sao cho $z \in F_y$; các tập hợp này tạo thành một cơ sở của một lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$. Cho $x$ là một điểm của $\beta X$ sao cho siêu lọc tương ứng trên $X$ (Chương I, § 9, Bài tập 27) là mịn hơn $\mathfrak{F}$. Cho $B$ là một tập con của $A$ sao cho $\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(X)$, và cho $y \to g_y$ là một ánh xạ toàn ánh $X \to B$. Với mỗi $z \in X$ đặt $f(z) = 1 + \sup_{y \in F_z} g_y(z)$. Chứng minh rằng $f(z) > g_y(z)$ với mọi $z \in M_y$, và suy ra rằng $\varphi_x(f) > \varphi_x(g_y)$ với mọi $y \in Y$ [dùng c)]. Kết luận rằng $\mathrm{Card}(A/\mathfrak{J}(x)) > \mathrm{Card} X$.