Exercice 21, § 4

Montrer que pour un espace complètement régulier $X$, les quatre conditions suivantes sont équivalentes:

a) $X$ est replet (X, p. 59, exerc. 17 b)). b) $X$ est intersection des parties de $\beta X$ qui le contiennent et qui sont réunions dénombrables d’ensembles compacts.

c) $\beta X - X$ est réunion d’ensembles fermés dont chacun est intersection dénombrable d’ensembles ouverts.

d) $X$ est homéomorphe à une partie partout dense d’un espace compact $K$, intersection d’une famille de parties de $K$ qui sont des réunions dénombrables d’ensembles compacts.