Bài tập 21, § 4

a) Cho $X$ là một không gian compact hoàn toàn rời rạc, và cho $A$ là một vành tôpô. Trang bị cho vành $\mathscr{C}(X; A)$ tôpô của sự hội tụ đều, tương thích với cấu trúc vành. Cho $a$ là một iđêan trái của $\mathscr{C}(X; A)$ và, với mỗi $x \in X$, cho $\mathfrak{J}(x)$ là bao đóng trong $A$ của tập hợp các $f(x)$ với $f \in a$; $\mathfrak{J}(x)$ là một iđêan trái đóng của $A$. Chứng minh rằng $\bar{a}$ trùng với tập hợp tất cả các $f \in \mathscr{C}(X; A)$ sao cho $f(x) \in \mathfrak{J}(x)$ với mọi $x \in X$ (chú ý rằng, với mỗi $x \in X$, các lân cận của $x$ vừa mở vừa đóng lập thành một hệ cơ bản các lân cận của $x$).

b) Giả sử thêm rằng $A$ có một hệ cơ bản các lân cận của $o$ là các iđêan hai phía. Cho $B$ là một vành con của $\mathscr{C}(X; A)$ chứa các hằng và phân biệt các điểm của $X$. Chứng minh rằng $B$ trù mật trong $\mathscr{C}(X; A)$. [Với mỗi tập con đóng $F$ của $X$, mỗi $x \notin F$ và mỗi lân cận $U$ của $o$ trong $A$, chứng minh rằng tồn tại $f \in B$ sao cho $f(x) = 1$ và $f(y) \in U$ với mọi $y \in F$.]