Exercice 8, § 4

Topologie générale, X, p. 56

Soient (X_i)_{1 ≤ i ≤ n} une famille finie d’espaces compacts, X = $\prod_{i=1}^{n} X_i$ leur produit, et pour chaque indice i, soit A_i une partie fermée de X_i. Montrer que toute fonction numérique continue dans X et nulle dans la réunion des ensembles A_i × $\prod_{j \neq i} X_j$ (1 ≤ i ≤ n) peut être approchée uniformément par des sommes d’un nombre fini de fonctions de la forme

(x_1, ..., x_n) \mapsto u_1(x_1)...u_n(x_n),

où pour chaque indice i, u_i est une fonction numérique continue dans X_i et nulle dans A_i.

Solution

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