Bài tập 8, § 4

Cho $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các không gian compact, cho $X = \prod_{i=1}^n X_i$ là tích của chúng, và với mỗi chỉ số $i$ cho $F_i$ là một tập con đóng của $X_i$. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục nhận giá trị thực trên $X$ triệt tiêu trên hợp của các tập hợp $F_i \times \prod_{j \neq i} X_j$ ($1 \leq i \leq n$) đều có thể được xấp xỉ đều bởi các tổng hữu hạn của các hàm dạng

trong đó $u_i$ là một hàm liên tục nhận giá trị thực trên $X_i$ triệt tiêu trên $F_i$ ($1 \leq i \leq n$).