Exercice 4, § 1

Soient A une algèbre commutative sur $\mathbf{C}$, I un idéal de A$,h$ l’injection canonique de I dans A, et S l’ensemble des $\chi \in \mathsf{X}'(A)$ qui s’annulent sur I. a) $\mathsf{X}'(h)$ est surjectif.

b) $\mathsf{X}'(h)|(\mathsf{X}'(A)$ - S) est un homéomorphisme de $\mathsf{X}'(A)$ - S sur $\mathsf{X}(I)$. (Soit $\chi_0\in \mathsf{X}'(A)$ - S. Soient $x_1, . . . , x_n\in A,\varepsilon >0$, et V le voisinage de $\chi_0$ dans $\mathsf{X}'(A)$ défini par $|(\chi -\chi_0)(x_i)|\leqslant \varepsilon ,(i= 1, . . . , n)$. Soit $u_0\in I$ tel que $\chi_0(u_0) = 1$. On a $u_i=u_0x_i\in I$. Alors si $|(\chi -\chi_0)(u_i)|\leqslant \delta (i= 0,1, . . . , n)$ avec $\delta$ assez petit, on a $\chi \in V$.)