Exercice 6, § 2

Soit $k\geqslant 1$ un entier. Pour tout entier $N\geqslant 1$, on note $S_k(N)$ le plus grand cardinal d’un ensemble $A\subset \{1, . . . ,N\}$ qui ne contient pas $k$ éléments en progression arithmétique, c’est-à-dire que, quels que soient $n_0\geqslant 0,h\geqslant 1$, $\ell \geqslant 1$, si $\{n_0+h, n_0+ 2h, . . . , n_0+\ell h\} \subset A$, alors $\ell < k$.

a) Montrer que la limite

$s_k=$ lim$_{N\rightarrow+\infty}\frac{S_k(N)}{N}$

existe. b) Montrer que $s_1=s_2= 0$. On peut montrer (« théorème de Szemerédi », cf. E. Szemerédi, On sets of integers containing no $k$ elements in arithmetic progression, Acta Arithmetica XXVII, 1975, 199–245) que $s_k= 0$ pour tout $k\geqslant 1$ ; pour le cas $k= 3$, cf. exercice 23 de II, p. 270.