Bài tập 6, § 2

Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, ký hiệu $S_k(N)$ là lực lượng lớn nhất của một tập hợp $A\subset \{1, . . . ,N\}$ không chứa $k$ phần tử trong một cấp số cộng, nghĩa là, với mọi $n_0\geqslant 0,h\geqslant 1$, $\ell \geqslant 1$, nếu $\{n_0+h, n_0+ 2h, . . . , n_0+\ell h\} \subset A$, thì $\ell < k$.

(a) Bây giờ chứng minh rằng giới hạn

$s_k=$ lim$_{N\rightarrow+\infty}\frac{S_k(N)}{N}$

tồn tại. (b) Bây giờ chứng minh rằng $s_1=s_2= 0$. Có thể chứng minh được (« định lý Szemerédi », xem E. Szemerédi, On sets of integers containing no $k$ elements in arithmetic progression, Acta Arithmetica XXVII, 1975, 199–245) rằng $s_k= 0$ với mọi $k\geqslant 1$ ; đối với trường hợp $k= 3$, xem bài tập 23 của II, p. 270.