Exercice 16, § 7

Soient X un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive de masse totale 1 sur X et $f: X\rightarrow X$ une application telle que $f(\mu) =\mu$.

a) L’application $\varphi \mapsto \varphi \circ f$ induit un endomorphisme unitaire $u_f$ de $L^2(X, \mu)$.

b) Le nombre réel 1 est une valeur propre de $u_f$ de multiplicité 1 si et seulement si, pour toute partie mesurable A de X telle que $f^{-1}(A) = A$, on a $\mu(A)\in \{0,1\}$. On dit alors que $f$ est $\mu$-ergodique.

c) Soit $E\subset L^2(X, \mu)$ le sous-espace propre de $u_f$ pour la valeur propre 1. La suite $(v_N)_{N\in\mathbf{N}}$ définie par

converge vers la projection orthogonale sur E dans l’espace $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ muni de la topologie de la convergence simple (« Théorème ergodique de von-Neumann »).(Noter que l’orthogonal de E est l’adhérence de l’image de $u_f-1_E$; vérifier alors que $v_N(\varphi )\rightarrow 0$ quand $\varphi \in E^{\circ}.$)

d) On définit un endomorphisme $\widetilde{u}_f$ de $L^1(X, \mu)$ comme dans la question a), et on pose

Pour tout $\varphi \in L^1(X, \mu)$, la suite $(\widetilde{v}_N(f))_{N\in\mathbf{N}}$ converge dans $L^1(X, \mu)$ vers un élément $\widetilde{\varphi}$ du sous-espace propre de $\widetilde{u}_f$ pour la valeur propre 1. (Considérer d’abord le cas où $\varphi$ est bornée, et appliquer la question précédente.)

e) Soient I un ensemble fini et $X = I^{\mathbf{Z}}$ muni de la mesure produit des mesures $\mu_n$ sur I telles que $\mu_n(i) = 1/$Card(I) pour tout $i\in I$. Posons $f((i_n)) = (i_{n+1})$ pour tout $(i_n)\in X$. Alors $f(\mu) =\mu$ et $f$ est $\mu$-ergodique (« décalage de Bernoulli »).

f) Soient $X =\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ et $\mu$ la mesure de Haar normalisée sur X. Soit $a\in X$ et posons $f(x) =x+a$. Alors $f(\mu) =\mu$ et $f$ est $\mu$-ergodique si et seulement si $a$ est la classe d’un nombre irrationnel.