Bài tập 16, § 7

Cho $X$ là một không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương có khối lượng toàn phần 1 trên $X$ và $f: X\rightarrow X$ là một ánh xạ sao cho $f(\mu) =\mu$.

(a) Ánh xạ $\varphi \mapsto \varphi \circ f$ cảm sinh một tự đồng cấu unita $u_f$ của $L^2(X, \mu)$.

(b) Số thực 1 là một trị riêng của $u_f$ với bội số 1 khi và chỉ khi, với mọi tập con đo được A của X sao cho $f^{-1}(A) = A$, ta có $\mu(A)\in \{0,1\}$. Khi đó người ta nói rằng $f$ là $\mu$-ergodic.

(c) Cho $E\subset L^2(X, \mu)$ là không gian con thực sự của $u_f$ ứng với trị riêng 1. Dãy $(v_N)_{N\in\mathbf{N}}$ được xác định bởi

hội tụ tới phép chiếu trực giao lên E trong không gian $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ được trang bị tôpô của sự hội tụ đơn giản (“định lý ergodic von-Neumann”).(Chú ý rằng phần trực giao của E là bao đóng của ảnh của $u_f-1_E$; hãy kiểm tra khi đó rằng $v_N(\varphi )\rightarrow 0$ khi $\varphi \in E^{\circ}.$)

(d) Người ta định nghĩa một tự đồng cấu $\widetilde{u}_f$ của $L^1(X, \mu)$ như trong câu hỏi a), và đặt

Với mọi $\varphi \in L^1(X, \mu)$, dãy $(\widetilde{v}_N(f))_{N\in\mathbf{N}}$ hội tụ trong $L^1(X, \mu)$ về một phần tử $\widetilde{\varphi}$ của không gian con thực sự của $\widetilde{u}_f$ ứng với trị riêng 1. (Trước hết xét trường hợp $\varphi$ bị chặn, và áp dụng câu hỏi trước.)

(e) Cho I là một tập hợp hữu hạn và $X = I^{\mathbf{Z}}$ được trang bị tích của các độ đo $\mu_n$ trên I sao cho $\mu_n(i) = 1/$Card(I) với mọi $i\in I$. Đặt $f((i_n)) = (i_{n+1})$ với mọi $(i_n)\in X$. Khi đó $f(\mu) =\mu$ và $f$ là $\mu$-ergodic (“phép dịch Bernoulli”).

(f) Cho $X =\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ và $\mu$ là độ đo Haar chuẩn hoá trên X. Cho $a\in X$ và đặt $f(x) =x+a$. Khi đó $f(\mu) =\mu$ và $f$ là $\mu$-ergodic khi và chỉ khi $a$ là lớp của một số vô tỉ.