Exercice 37, § 1

On garde les notations de l’exercice précédent. a) Soit $f:\mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$ un élément de $\mathscr{E}_{1/2}$ tel que la restriction de $f$ à $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\mathbf{R})$. Pour tout $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, on a

$f(z) =$ sin($\pi \pi z$)$\sum_{n\in\mathbf{Z}}(-1)^n\frac{f(n)}{z-n}$.

(Utiliser le théorème de Paley-Wiener et la formule a) de l’exercice 1.)

b) Soit $f:\mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$ un élément de $\mathscr{E}_{1/2}$ tel que $f$ est bornée sur $\mathbf{R}$. Pour tout $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, on a

$f(z) =f(0) +$ sin($\pi \pi z$)$(f'(0) +\sum_{n\in\mathbf{Z}-\{0\}}(-1)^nz\frac{f(n) -f(0)}{n(z-n)})$

(appliquer la question précédente à la fonction définie par $z\mapsto (f(z)-f(0))/z$ pour $z\not= 0$ et qui applique 0 sur $f'(0)$).

c) Soit $f$ un élément de $\mathscr{E}_{1/2}$ borné sur $\mathbf{R}$. Alors $f'$ est bornée sur $\mathbf{R}$ et on a

sup$_{x\in\mathbf{R}}|f'(x)|\leqslant 2$ sup$_{x\in\mathbf{R}}|f(x)|$

(« inégalité de Bernstein » ; se ramener à majorer $|f'(1/2)|$ et appliquer la formule précédente).

d) Soit $f$ un élément de $\mathscr{E}_{1/2}$ tel que la restriction de $f$ à $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\mathbf{R})$. Soient $u$ et $v$ les fonctions 1-périodiques sur $\mathbf{R}$ définies par

pour $0\leqslant t <1$. Pour presque tout $t\in [-1,1]$, on a

$\widehat{f}(t) = (1- |t|)u(t) + (2i\pi )^{-1}$ s($t$)$v(t)$,

et les coefficients des séries de Fourier de $u$ et $v$ sont $f(-n)$ et $f'(-n)$, respectivement, pour $n\in \mathbf{Z}$.

e) Soit $f\in \mathscr{E}_{1/2}$ comme dans la question précédente. On a pour tout $z\in \mathbf{C}$ la formule

$f(z) =($ sin($\pi \pi z$))$^2\{(\sum_{n\in\mathbf{Z}}\frac{f(n)}{(z-n)^2}+\sum_{n\in\mathbf{Z}}\frac{f'(n)}{z-n}\}$,

où la série converge symétriquement dans $\mathscr{O}(\mathbf{C})$, c’est-à-dire, uniformément sur les parties compactes de $\mathbf{C}$. (Utiliser les formules de la question f) de l’exercice 1.)