Bài tập 37, § 1

Ta giữ các ký hiệu của bài tập trước. (a) Cho $f:\mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$ là một phần tử của $\mathscr{E}_{1/2}$ sao cho hạn chế của $f$ lên $\mathbf{R}$ thuộc về $L^2(\mathbf{R})$. Với mọi $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, ta có

$f(z) =$ sin($\pi \pi z$)$\sum_{n\in\mathbf{Z}}(-1)^n\frac{f(n)}{z-n}$.

(Sử dụng định lý Paley-Wiener và công thức a) của Bài tập 1.)

(b) Cho $f:\mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$ là một phần tử của $\mathscr{E}_{1/2}$ sao cho $f$ bị chặn trên $\mathbf{R}$. Với mọi $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, ta có

$f(z) =f(0) +$ sin($\pi \pi z$)$(f'(0) +\sum_{n\in\mathbf{Z}-\{0\}}(-1)^nz\frac{f(n) -f(0)}{n(z-n)})$

(áp dụng câu hỏi trước cho hàm được xác định bởi $z\mapsto (f(z)-f(0))/z$ với $z\not= 0$ và gán giá trị $f'(0)$ cho 0).

(c) Cho $f$ là một phần tử của $\mathscr{E}_{1/2}$ bị chặn trên $\mathbf{R}$. Khi đó $f'$ bị chặn trên $\mathbf{R}$ và ta có

sup$_{x\in\mathbf{R}}|f'(x)|\leqslant 2$ sup$_{x\in\mathbf{R}}|f(x)|$

(“bất đẳng thức Bernstein”; rút gọn về việc đánh giá trội $|f'(1/2)|$ và áp dụng công thức trước).

(d) Cho $f$ là một phần tử của $\mathscr{E}_{1/2}$ sao cho hạn chế của $f$ lên $\mathbf{R}$ thuộc về $L^2(\mathbf{R})$. Cho $u$ và $v$ là các hàm tuần hoàn chu kỳ 1 trên $\mathbf{R}$ được xác định bởi

với $0\leqslant t <1$. Với hầu hết mọi $t\in [-1,1]$, ta có

$\widehat{f}(t) = (1- |t|)u(t) + (2i\pi )^{-1}$ s($t$)$v(t)$,

và các hệ số của chuỗi Fourier của $u$ và $v$ lần lượt là $f(-n)$ và $f'(-n)$, với $n\in \mathbf{Z}$.

(e) Cho $f\in \mathscr{E}_{1/2}$ như trong câu hỏi trước. Ta có với mọi $z\in \mathbf{C}$ công thức

$f(z) =($ sin($\pi \pi z$))$^2\{(\sum_{n\in\mathbf{Z}}\frac{f(n)}{(z-n)^2}+\sum_{n\in\mathbf{Z}}\frac{f'(n)}{z-n}\}$,

trong đó chuỗi hội tụ đối xứng trong $\mathscr{O}(\mathbf{C})$, nghĩa là đều trên các tập con compact của $\mathbf{C}$. (Sử dụng các công thức của câu hỏi f) của Bài tập 1.)