Exercice 9, § 2

a) Soit $\boldsymbol{a}= (a_n)_{n\geqslant 0}$ une suite d’entiers $>1$. On munit $\mathbf{Z}$ de la structure d’anneau topologique pour laquelle les sous-ensembles $\mathbf{Z}a_0a_1\cdots a_n$, où $n\geqslant 0$, forment un système fondamental de voisinages de 0. On note $\Delta_{\boldsymbol{a}}$ le complété de cet anneau. Il est compact, métrisable et totalement discontinu. Si $p$ est un nombre premier, et si $a_i=p$ pour tout $i$, on a $\Delta_{\boldsymbol{a}}=\mathbf{Z}_p$.

b) On note $\mathbf{Z}(\boldsymbol{a}^{\infty})$ le groupe multiplicatif des nombres complexes de la forme exp(2$i\pi l/(a_0a_1\cdots a_r)$) où $l\in \mathbf{Z}$ et $r\in \mathbf{N}$, muni de la topologie discrète. Alors $\chi \mapsto \chi (1)$ est un isomorphisme de $\widehat{\Delta}_{\boldsymbol{a}}$ sur $\mathbf{Z}(\boldsymbol{a}^{\infty})$.

c) Soit B le sous-groupe de $\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}}$ formé des $(n, n)$ pour $n\in \mathbf{Z}$; il est discret. On pose $\Sigma_{\boldsymbol{a}}= (\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}})/B$. C’est un groupe compact métrisable connexe. (Observer que l’image canonique de $\mathbf{R}$ dans $\Sigma_{\boldsymbol{a}}$ est dense, et utiliser le lemme 1 de II, p. 244.)

d) Soit $\Gamma_{\boldsymbol{a}}$ le sous-groupe additif du groupe discret $\mathbf{Q}$ formé des nombres rationnels de la forme $l/(a_0a_1\cdots a_r)$ où $l\in \mathbf{Z}$ et $r\in \mathbf{N}$. Si $\chi \in \widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}}$, alors $\chi$ définit un caractère unitaire de $\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}}$, donc un caractère unitaire de $\mathbf{R}$ de la forme $x\mapsto$ exp(2$i\pi \alpha_{\chi}x$) où $\alpha_{\chi}\in \mathbf{R}$. Alors $\chi \mapsto \alpha_{\chi}$ est un isomorphisme de $\widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}}$ sur $\Gamma_{\boldsymbol{a}}$.

e) Montrer que $\widehat{\mathbf{Q}}$ est canoniquement isomorphe à $\Sigma_{\boldsymbol{a}}$, où la suite $\boldsymbol{a}$ est définie par $a_n=n+ 2$ pour tout $n\geqslant 0$.

f) Soit $\mathbf{R}_d$ le groupe $\mathbf{R}$ muni de la topologie discrète. Montrer que $\widehat{\mathbf{R}}_d$ est isomorphe à $(\widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}})^{\mathfrak{c}}$ où $a_n=n+ 2$ et où $\mathfrak{c}$ est la puissance du continu. (Considérer une base de $\mathbf{R}$ comme $\mathbf{Q}$-espace vectoriel.)