Bài tập 9, § 2

a) Cho $\boldsymbol{a}= (a_n)_{n\geqslant 0}$ là một dãy các số nguyên $>1$. Ta trang bị cho $\mathbf{Z}$ cấu trúc của một vành tôpô mà đối với nó các tập con $\mathbf{Z}a_0a_1\cdots a_n$, với $n\geqslant 0$, tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0. Ta ký hiệu $\Delta_{\boldsymbol{a}}$ là sự hoàn thành của vành này. Nó compact, mêtric hóa được và hoàn toàn không liên thông. Nếu $p$ là một số nguyên tố, và nếu $a_i=p$ với mọi $i$, ta có $\Delta_{\boldsymbol{a}}=\mathbf{Z}_p$.

b) Ta ký hiệu $\mathbf{Z}(\boldsymbol{a}^{\infty})$ là nhóm nhân của các số phức có dạng exp(2$i\pi l/(a_0a_1\cdots a_r)$) trong đó $l\in \mathbf{Z}$ và $r\in \mathbf{N}$, được trang bị tôpô rời rạc. Khi đó $\chi \mapsto \chi (1)$ là một đẳng cấu của $\widehat{\Delta}_{\boldsymbol{a}}$ lên $\mathbf{Z}(\boldsymbol{a}^{\infty})$.

c) Cho B là nhóm con của $\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}}$ tạo bởi các $(n, n)$ với $n\in \mathbf{Z}$; nó là rời rạc. Ta đặt $\Sigma_{\boldsymbol{a}}= (\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}})/B$. Nó là một nhóm compact mêtric hóa được liên thông. (Nhận xét rằng ảnh chính tắc của $\mathbf{R}$ trong $\Sigma_{\boldsymbol{a}}$ là trù mật, và sử dụng bổ đề 1 của II, p. 244.)

d) Cho $\Gamma_{\boldsymbol{a}}$ là nhóm con cộng tính của nhóm rời rạc $\mathbf{Q}$ tạo bởi các số hữu tỉ có dạng $l/(a_0a_1\cdots a_r)$ trong đó $l\in \mathbf{Z}$ và $r\in \mathbf{N}$. Nếu $\chi \in \widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}}$, thì $\chi$ xác định một đặc trưng unita của $\mathbf{R}\times \Delta_{\boldsymbol{a}}$, do đó một đặc trưng unita của $\mathbf{R}$ có dạng $x\mapsto$ exp(2$i\pi \alpha_{\chi}x$) trong đó $\alpha_{\chi}\in \mathbf{R}$. Khi đó $\chi \mapsto \alpha_{\chi}$ là một đẳng cấu của $\widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}}$ lên $\Gamma_{\boldsymbol{a}}$.

e) Bây giờ chứng minh rằng $\widehat{\mathbf{Q}}$ là đẳng cấu chính tắc với $\Sigma_{\boldsymbol{a}}$, trong đó dãy $\boldsymbol{a}$ được xác định bởi $a_n=n+ 2$ với mọi $n\geqslant 0$.

f) Cho $\mathbf{R}_d$ là nhóm $\mathbf{R}$ được trang bị tôpô rời rạc. Bây giờ chứng minh rằng $\widehat{\mathbf{R}}_d$ là đẳng cấu với $(\widehat{\Sigma}_{\boldsymbol{a}})^{\mathfrak{c}}$ trong đó $a_n=n+ 2$ và trong đó $\mathfrak{c}$ là lũy thừa của continuum. (Xét một cơ sở của $\mathbf{R}$ như một không gian vectơ trên $\mathbf{Q}$.)