Exercice 20, § 1

Soient X, Y des espaces métriques compacts, T un opérateur compact de $\mathscr{C}(Y)$ dans $\mathscr{C}(X)$.

Démontrer qu’il existe une mesure positive $\mu$ sur X et une application mesurable N de $X\times Y$ dans $\mathbf{C}$ telles que

a) Pour tout $y\in Y$, l’application $N_y:x\mapsto N(x, y)$ de X dans $\mathbf{C}$ est $\mu$-intégrable ;

b) L’application $y\mapsto N_y$ de Y dans $\mathscr{L}^1(X, \mu)$ est continue ;

c) Pour tout $f\in \mathscr{C}$(X), et tout $y\in Y$, on a