Bài tập 20, § 1

Cho X, Y là các không gian mêtric compact, T là một toán tử compact từ $\mathscr{C}(Y)$ vào $\mathscr{C}(X)$.

Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương $\mu$ trên X và một ánh xạ đo được N từ $X\times Y$ vào $\mathbf{C}$ sao cho

a) Với mọi $y\in Y$, ánh xạ $N_y:x\mapsto N(x, y)$ từ X vào $\mathbf{C}$ là $\mu$-khả tích ;

b) Ánh xạ $y\mapsto N_y$ từ Y vào $\mathscr{L}^1(X, \mu)$ là liên tục ;

c) Với mọi $f\in \mathscr{C}$(X), và mọi $y\in Y$, ta có