Exercice 3, § 1

On note A le sous-anneau de K formé des éléments $x\in K$ tels que $|x|\leqslant 1$; c’est un anneau local dont l’idéal maximal est formé des $x\in A$ tels que $|x|<1$.

Soient I un ensemble et E l’espace de Banach $\mathscr{C}_0(I) ($cf. question c) de l’exercice 1). Pour $i\in I$, notons $\varphi_i\in E$ la fonction caractéristique de $\{i\}$. Soit $u\in \mathscr{L}^c(E)$ tel que $\|u\|\leqslant 1$.

a) Le sous-espace $E_0$ des éléments $x\in E$ tels que $\|x\|\leqslant 1$ est stable par $u$. b) Pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$ de A, l’application linéaire $u$ définit par passage aux quotients un endomorphisme $u_{\mathfrak{a}}$ du $A/\mathfrak{a}$-module $E_{\mathfrak{a}}= E_0/\mathfrak{a}E_0$. Ce $A/\mathfrak{a}$-module est libre et l’image de $u_{\mathfrak{a}}$ est contenue dans un sous-module de type fini.

c) Il existe une unique série formelle $f_u\in A[[t]]$ telle que, pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$ de A, l’image de $f_u$ dans $(A/\mathfrak{a})[[t]]$ est égale au polynôme det(1 $-tu_{\mathfrak{a}}$) défini dans A, VIII, p. 455.

d) Soit $v\in \mathscr{L}^c$(E), et soit $c\in K^*$ tel que $\|cv\|\leqslant 1$. La série formelle $f_{cv}$ est indépendante du choix de $c$ vérifiant cette propriété.

On notera det(1$-tv$) la série formelle $f_v$ pour tout $c\in K^*$ tel que $\|cv\|\leqslant 1$.