Bài tập 3, § 1

Ta ký hiệu A là vành con của K gồm các phần tử $x\in K$ sao cho $|x|\leqslant 1$; đó là một vành địa phương mà iđêan cực đại gồm các $x\in A$ sao cho $|x|<1$.

Cho I là một tập hợp và E là không gian Banach $\mathscr{C}_0(I) ($cf. question c) of Exercise 1). Với $i\in I$, ký hiệu $\varphi_i\in E$ là hàm đặc trưng của $\{i\}$. Cho $u\in \mathscr{L}^c(E)$ sao cho $\|u\|\leqslant 1$.

a) Không gian con $E_0$ gồm các phần tử $x\in E$ sao cho $\|x\|\leqslant 1$ là ổn định qua u. b) Với mọi iđêan khác không $\mathfrak{a}$ của A, ánh xạ tuyến tính u xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một tự đồng cấu $u_{\mathfrak{a}}$ của $A/\mathfrak{a}$-môđun $E_{\mathfrak{a}}= E_0/\mathfrak{a}E_0$. $A/\mathfrak{a}$-môđun này là tự do và ảnh của $u_{\mathfrak{a}}$ được chứa trong một môđun con sinh hữu hạn.

c) Tồn tại duy nhất một chuỗi hình thức $f_u\in A[[t]]$ sao cho, với mọi iđêan khác không $\mathfrak{a}$ của A, ảnh của $f_u$ trong $(A/\mathfrak{a})[[t]]$ bằng đa thức det(1 $-tu_{\mathfrak{a}}$) được định nghĩa trong A, VIII, p. 455.

d) Cho $v\in \mathscr{L}^c$(E), và cho $c\in K^*$ sao cho $\|cv\|\leqslant 1$. Chuỗi hình thức $f_{cv}$ độc lập với lựa chọn c thỏa mãn tính chất này.

Ta sẽ ký hiệu det(1$-tv$) là chuỗi hình thức $f_v$ với mọi $c\in K^*$ sao cho $\|cv\|\leqslant 1$.