Exercice 4, § 2

Soit $\alpha \in ]0,1]$. Soit I un intervalle compact de $\mathbf{R}$. On désigne par $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(I)$ formé des fonctions $f$ telles qu’il existe $C\geqslant 0$ satisfaisant à

pour tout $(x, y)\in I\times I$.

On munit $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ de la norme

$\|f\|_{\alpha}=$ sup$_{x\in I}|f(x)|+$ sup$_{(x,y)\in I\times I}\frac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|^{\alpha}}$.

$x\not =y$

a) L’espace $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ est un espace de Banach.

b) L’injection canonique $\mathscr{C}^{\alpha}(I)\rightarrow \mathscr{C}(I)$ est compacte.

c) Si $0< \alpha < \beta \leqslant 1$, alors l’injection canonique $\mathscr{C}^{\beta}(I)\rightarrow \mathscr{C}^{\alpha}(I)$ est compacte. d) L’espace de Sobolev $H^1(\mathring{I}) ($cf. IV, p. 221, n$^o14$) s’identifie à un sous-espace de $\mathscr{C}^{1/2}$(I), mais l’injection canonique $H^1(\mathring{I})\rightarrow \mathscr{C}^{1/2}(I)$ n’est pas compacte.