Bài tập 4, § 2

Cho $\alpha \in ]0,1]$. Cho I là một khoảng compact của $\mathbf{R}$. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ không gian con vectơ của $\mathscr{C}(I)$ tạo bởi các hàm $f$ thỏa mãn rằng tồn tại $C\geqslant 0$ thỏa mãn

với mọi $(x, y)\in I\times I$.

Ta trang bị cho $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ chuẩn

$\|f\|_{\alpha}=$ sup$_{x\in I}|f(x)|+$ sup$_{(x,y)\in I\times I}\frac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|^{\alpha}}$.

$x\not =y$

(a) Không gian $\mathscr{C}^{\alpha}(I)$ là một không gian Banach.

(b) Đơn ánh chính tắc $\mathscr{C}^{\alpha}(I)\rightarrow \mathscr{C}(I)$ là compact.

(c) Nếu $0< \alpha < \beta \leqslant 1$, thì đơn ánh chính tắc $\mathscr{C}^{\beta}(I)\rightarrow \mathscr{C}^{\alpha}(I)$ là compact.

(d) Không gian Sobolev $H^1(\mathring{I}) ($cf. IV, p. 221, n$^o14$) đồng nhất với một không gian con của $\mathscr{C}^{1/2}$(I), nhưng đơn ánh chính tắc $H^1(\mathring{I})\rightarrow \mathscr{C}^{1/2}(I)$ không compact.