Exercice 30, § 6

On reprend les hypothèses de l’exercice précédent de sorte que $u$ est linéaire, compacte, et que les conditions (i) à (v) sont supposées satisfaites. L’endomorphisme $^tu$ est aussi compact.

a) Soit $\eta \in C^{\circ}-\{0\}$. Pour tout $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $\lambda < \lambda_m$, l’unique solution $\xi (\lambda )$ de l’équation $\xi -\lambda^tu(\xi ) =\eta$ appartient à $C^{\circ}$. (Si $x\in C$, soit $y\in C$ tel que $y-\lambda u(y) =x$; on a $\langle y, \eta \rangle =\langle x, \xi \rangle .$)

b) Soit $x_0\in \mathring{C}$. L’application $\lambda \mapsto \langle x_0, \xi (\lambda )\rangle$ tend vers l’infini lorsque $\lambda$ tend vers $\lambda_m$. Prouver que l’ensemble des valeurs $\xi (\lambda )/\langle x_0, \xi (\lambda )\rangle$ possède une valeur d’adhérence $\xi_m$ telle que :

(i) $\xi_m\in C^{\circ}$;

(ii) $\langle x_0, \xi_m\rangle = 1$;

(iii) $\xi_m=\lambda_m^tu(\xi_m)$.

c) Soit $f\in E$ tel que $\langle f, \xi_m\rangle = 0$. Pour $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $\lambda < \lambda_m$, on note $x(\lambda )$ l’unique solution $x$ dans E de l’équation $x-\lambda u(x) =f$. Montrer que l’ensemble des $x(\lambda )$ est borné dans E (soit $d$ une distance définissant la topologie de E ; s’il existait une suite $\lambda_n\rightarrow \lambda_m$ telle que $x(\lambda_n)$ tend vers l’infini, poser $\widehat{x}_n=x(\lambda_n)/d(0, x(\lambda_n))$, et montrer que la suite $(\widehat{x}_n)$ converge vers un élément $\widehat{x}$ tel que $d(0,\widehat{x}) = 1, \widehat{x}=\lambda u(\widehat{x})$ et $\langle \widehat{x, \xi}_m\rangle = 0$, ce qui contredit le fait qu’on doive avoir $\widehat{x}\in \mathring{C}$).

d) Il existe un unique élément $x\in E$ tel que $f=x-\lambda_mu(x)$ et $\langle x, \xi_m\rangle = 0$. (Pour l’existence, montrer à l’aide de la question précédente qu’il existe une suite $(\lambda_n)$ convergeant vers $\lambda_m$ telle que $(x(\lambda_n))$ converge vers un élément $x$ vérifiant les conditions voulues.)

e) L’endomorphisme $1_{E'}-\lambda_m^tu$ de $E'$ induit par passage aux sous-espaces une bijection du polaire $x^{\circ}_m$ de $x_m$.

f) L’espace propre Ker(1$_E-\lambda_mu$) est de dimension 1 et est égal au polaire de l’image de $1_E-\lambda_mu$.